Viele Modelle in den Naturwissenschaften, aber auch in der Finanzmathematik führen auf sogenannte diskrete dynamische Systeme, deren Langzeitverhalten und Stabilität sich mittels Matrizen analysieren lässt.
Wir zeigen, wie Eigenwerte (Spektrum) und Eigenvektoren dieser Matrizen Langzeitverhalten und stabile Lösungen bestimmen. Nach einer Einführung in die Spektraltheorie von Matrizen studieren wir konkrete Modelle und Anwendungen.

Die globalen Eigenschaften realer vernetzter Strukturen (z.B. Konnektivität von Zellen, Durchlässigkeit von porösen Medien, Leitfähigkeit elektrischer Netzwerke) werden oft durch zufällige lokale Defekte bestimmt, deren mathematische Modellierung auf zufällige Graphen (Perkolationsgraphen) führt.
Wir erläutern graphentheoretische Grundbegriffe und beschäftigen uns mit einigen typischen Fragestellungen, die sich bei der Analyse der Perkolationsgraphen ergeben.

Schließlich werden wir sehen, wie die zufälligen Graphen eines Perkolationsmodells auf zufällige Matrizen führen, und welche Zusammenhänge zwischen Spektrum und Perkolation sich daraus ergeben.