Mathematik hat ihren Ursprung in praktischen Bedürfnissen und in der Beschreibung realer Phänomene. Dabei wurden die Grenzen unmittelbarer Nützlichkeit schon früh überschritten. In einem zweiteiligen Vortrag wird die Entwicklung der Mathematik zwischen Anschauung und Abstraktion, zwischen Erfahrung und deduktiver Theorie geschildert. In den weiteren Vorträgen wird an den Beispielen Nichteuklidische Geometrie und Endliche Geometrie gezeigt, wie man unter Verzicht auf gewohnte geometrische Anschauung in neue, durchaus nützliche Bereiche gelangt.