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Simulation einer homogenen Markov-Kette (in stetiger Zeit)

Markov-Ketten in stetiger Zeit werden über ihre Q-Matrix beschrieben, diese wird auch als Generator- oder Ratenmatrix bezeichnet. Davon ausgehend, dass es nur endlich viele Zustände gibt, und keiner davon absorbierend ist, dass also jeder Zustand wieder verlassen werden kann, gilt für diese Matrix: Die Einträge außerhalb der Hauptdiagonalen sind nichtnegativ, die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind negativ, die Zeilensummen haben den Wert 0.

Vor allem für die Simulation ist die folgende Interpretation der Einträge wichtig: Die Verweilzeit in einem Zustand ist exponentiell verteilt, der Parameter ist der Betrag des zugehörigen Hauptdiagonalelements. Nach Ablauf der Verweilzeit im Zustand i springt der Prozess in einen neuen Zustand, die Wahrscheinlichkeit für einen Sprung nach j lässt sich berechnen, indem die Rate qij für diesen Übergang durch |qii| geteilt wird. Die Wahrscheinlichkeit für einen Sprung in den gleichen Zustand ist 0, da die Verweilzeit abgelaufen ist.

Werden die Verweilzeiten ignoriert, also nur die Sprünge betrachtet, ergibt sich eine Markov-Kette in diskreter Zeit, die eingebettete Sprungkette. Daher lässt sich eine Markov-Kette in stetiger Zeit mit endlich vielen nicht-absorbierenden Zuständen aus einer Markov-Kette in diskreter Zeit und einer Folge von exponentiell verteilten Verweilzeiten zusammensetzen.

Übergangsraten: Hier wird festgelegt, wie die zu simulierende Markov-Kette aussieht: Die Anzahl der Zustände und die Übergangsraten müssen eingegeben werden. Unten wird automatisch die Übergangsmatrix der eingebetteten Sprungkette berechnet.

Zustandsfunktion: Es wird angezeigt, welche Zustände die Markov-Kette einnimmt. Im Histogramm unten kann die relative Aufenthaltszeit in den einzelnen Zustände abgelesen werden.

Markov Graph: Der Graph wird angezeigt, die Zahlen an den Kanten geben die Übergangsraten an; die Zahlen an den Knoten sind die Parameter der exponentiell verteilten Verweilzeit. Der im aktuellen Simulationsschritt angenommene Zustand wird hervorgehoben, ebenso die zuletzt benutzte Kante. Die relative Aufenthaltsdauer in den Zuständen wird durch die Helligkeitsstufen dargestellt.

Q-Matrix qi,j

Matrix ausfüllen:
Anzahl an Zuständen:

Übergangsmatrix der eingebetteten Sprungkette

Simulation

Zustand in Abhängigkeit von der Zeit

Relative Aufenthaltszeit

 

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