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Numerische Integration

Obwohl man den Eindruck hat, es handelt sich bei der Integration um das Gegenstück zur Differentiation, ist Integration ungemein schwieriger.  Um Ableitungen von konkreten Funktionen zu bestimmen, genügt es, wenige definierte Regeln anzuwenden. Zur Integration selbst elementarer Funktionen hingegen existiert kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Hier ist man viel eher auf numerische Approximationen angewiesen. Numerische Integration wird auch Quadratur genannt. 

Rechteckregel
Hierbei handelt es sich um die einfachste Form der Approximation. Der Funktionsgraph wird mit einem Stützpunkt (n=1) angenähert und der Flächeninhalt als Rechteck approximiert. Bei der zusammengesetzten Rechteckregel (n>1) wird das Integrationsgebiet unterteilt und die obige Regel auf jedes Teilintervall angewendet.
Trapezregel
Hier ist die Grundidee, mithilfe von zwei Stützstellen den Funktionsgraphen durch eine Gerade und somit das den Flächeninhalt durch ein Trapez zu approximieren. Bei der zusammengesetzten Trapezregel (n>1) wird das Integrationsgebiet unterteilt und die obige Regel auf jedes Teilintervall angewendet. Dabei können Funktionsauswertungen wiederverwendet werden, da jede innere Stützstelle zu zwei Trapezen gehört.
Simpsonsche Regel / Kepplersche Fassregel
Hier wird die Funktion durch ein quadratisches Polynom approximiert. Dazu werden als Stützstellen beide Ränder sowie der Mittelpunkt verwendet. Bei der zusammengesetzten Simpsonschen Regel (n>1) wird das Integrationsgebiet unterteilt und die obige Regel auf jedes Teilintervall angewendet. Auch hier können Funktionsauswertungen wiederverwendet werden, da die Randstützstellen in der Regel zu zwei Intervallen gehören.
 

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