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Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen


Bei gewöhnlichen Differentialgleichungen hängt die gesuchte Funktion lediglich von einer Veränderlichen ab. Es können also gewöhnliche Ableitungen der Funktion in dieser einen Variablen auftreten. Die Ordnung der Differentialgleichung entspricht der höchsten auftretenden Ableitung. 
Man unterscheidet zwischen expliziten und impliziten Differentialgleichungen, je nachdem, ob man die Gleichung nach der höchsten auftretenden Ableitung auflösen kann oder nicht. 

In der Anwendung handelt es sich bei der Veränderlichen häufig um die Zeit. 
So beschreibt die Differentialgleichung das Änderungsverhalten der gesuchten Größen zueinander. 

Nur für wenige Differentialgleichungen existieren explizite Algorithmen zur Lösung. Für viele Lösungen ist nicht einmal eine explizite Lösungsdarstellung möglich, so dass hier viel auf numerische Approximation zurückgegriffen wird.

Explizites Eulerverfahren
Hierbei handelt es sich um die einfachste Form eines expliziten Einschrittverfahrens. In jedem Schritt wird die durch die Differentialgleichung vorgegebene Änderung bestimmt und mit ihrer Hilfe der nächste Schritt bestimmt. Anschaulich gesprochen wird die Änderungsvorschrift in jedem Schritt mithilfe der linksseitigen Rechteck-Regel integriert. Das explizite Euler-Verfahren kann auch als Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 1 betrachtet werden.
Heun-Verfahren
Das Verfahren von Heun ist ein Einfaches aus der Klasse der Runge-Kutta-Verfahren. Die Differentialgleichung wird nun in jedem Schritt mehrfach ausgewertet, nämlich an der aktuellen Stelle sowie an der vom expliziten Eulerverfahren vorgesehenen nächsten Stelle. Beide Informationen werden gemittelt und gehen in den nächsten Schritt ein. Anschaulich gesprochen wird die Änderungsvorschrift in jedem Schritt mithilfe der Trapez-Regel integriert. Es handelt sich um ein 2-stufiges explizites Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 2.
Runge-Kutta-Methode 2. Ordnung
Ein weiteres Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung. Die Differentialgleichung wird nun in jedem Schritt mehrfach ausgewertet, nämlich an der aktuellen Stelle sowie an der vom expliziten Eulerverfahren vorgesehenen nächsten Stelle. In den nächsten Schritt geht jedoch hier nur die letzte Auswertung ein (im Unterschied zum Verfahren von Heun). Es handelt sich um ein 2-stufiges explizites Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 2.
Runge-Kutta-Methode 3. Ordnung
Die Differentialgleichung wird nun in jedem Schritt mehrfach ausgewertet, nämlich an der aktuellen Stelle, einem Zwischenschritt sowie an der nächsten Stelle. Alle drei Informationen werden gewichtet und gehen in den nächsten Schritt ein. Anschaulich gesprochen wird die Änderungsvorschrift in jedem Schritt mithilfe der Simpson-Regel integriert. Es handelt sich um ein 3-stufiges explizites Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 3.
Klassische Runge-Kutta-Methode 4. Ordnung
Die Differentialgleichung wird nun in jedem Schritt mehrfach ausgewertet, nämlich an der aktuellen Stelle, zweimal an einem Zwischenschritt sowie an der nächsten Stelle. Alle die vier Informationen werden gewichtet und gehen in den nächsten Schritt ein. Es handelt sich um ein 4-stufiges explizites Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 4.
 

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