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Research group Operator and Spectral Theory

 

Der Begriff des Spektrums ist unabhängig von einander in der Physik und in der Mathematik entstanden und untersucht worden. Erst mit der Quantentheorie hat sich herausgestellt, dass beide Begriffe verwoben sind, dass zum Beispiel die Eigenwerte von Operatoren die Spektrallinien von Atomen erklären können. Ebenso stellt man bei Streuexperimenten fest, dass nur der spektral stetige Anteil relevant ist, womit die Struktur von Elementarteilchen in großen Beschleunigern erforscht werden kann.

Die Untersuchung des Spektrums wird auf das Studium der Resolventenmenge zurückgeführt. Resolventen können durch einparametrige Halbgruppen dargestellt werden. Deren Erzeuger sind gerade die Operatoren, welche die physikalischen Systeme modellieren. Die Halbgruppen wiederum bestehen aus Integraloperatoren und besitzen eine stochastische Darstellung durch Erwartungswerte bestimmter Markov-Prozesse, bekannt als Feynman-Kac-Formel.

Die Themen der mathematischen Forschung in der Arbeitsgruppe liegen im Schnittpunkt zwischen der Spektraltheorie, der Halbgruppentheorie, der Theorie von Integraloperatoren und der stochastischen Analysis. Um neue Resultate zu erhalten, müssen bekannte operatortheoretische Kriterien weiterentwickelt oder neue gefunden werden. Zum Beispiel sichern Integralbedingungen die Stabilität der Spektralanteile oder bestimmen die Verteilung und die Anzahl von Eigenwerten.

In den letzten Jahren haben wir herausgefunden, dass die Nullstellen holomorpher Funktionen mit den Eigenwerten linearer Operatoren identifiziert werden können. Somit können jetzt sogar auch spektrale Verteilungen für Operatoren in Banachräumen abgeschätzt werden.

Die Resultate betreffen sowohl nichtrelativistische als auch relativistische Quantensysteme. In der Physik spielen verschiedene Grenzübergänge, wie der semiklassische Limes, Approximation durch große Kopplungskonstanten oder thermodynamische Grenzübergänge eine wesentliche Rolle. Unsere Methoden gestatten es, diese Limitierungen quantitativ zu untersuchen. Dies beinhaltet die Stetigkeit von Streudaten, die Vollständigkeit von Streusystemen, genaue Aussagen über die Veränderung von niedrigsten Eigenwerten, das Verhalten von Eigenfunktionen, die Verteilung von Eigenwerten und Resonanzen. Da man in der Analyse einen neuen Standpunkt einnimmt, erhält man auch für wohlbekannte Schrödinger-Operatoren neue und zum Teil unerwartete Resultate.

 
Address
Research group Operator and Spectral Theory
Prof. Dr. Michael Demuth
Institute of Mathematics
Clausthal University of Technology
Erzstraße 1
38678 Clausthal-Zellerfeld
Phone +49 5323 72-2411
Fax: +49 5323 72-3598
E-Mail: michael.demuth@tu-clausthal.de

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